الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.5

أضف $49$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

وسّع $(4 - λ) (4 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.2.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.2

اطرح $4 λ$ من $- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

خطوة 5.4.2.1.3

اضرب $- 49$ في $1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49) + 0$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $49$ من $16$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} - 33) + 0$

خطوة 5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 8 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

خطوة 5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أضف $0$ و $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

خطوة 5.5.1.2

أضف $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ و $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$

خطوة 5.5.2

وسّع $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اضرب $- 8$ في $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.2

اضرب $3$ في $- 33$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.6

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

خطوة 5.5.3.7

اضرب $- 33$ في $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} + 33 λ$

خطوة 5.5.4

أضف $3 λ^{2}$ و $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 33 λ$

خطوة 5.5.5

أضف $- 24 λ$ و $33 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - 99 - λ^{3}$

خطوة 5.5.6

انقُل $- 99$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - λ^{3} - 99$

خطوة 5.5.7

انقُل $9 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} + 9 λ - 99$

خطوة 5.5.8

أعِد ترتيب $11 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(- λ^{3} + 11 λ^{2}) + 9 λ - 99 = 0$

خطوة 7.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$λ^{2} (- λ + 11) - 9 (- λ + 11) = 0$

خطوة 7.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 11$ .

$(- λ + 11) (λ^{2} - 9) = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$(- λ + 11) (λ^{2} - 3^{2}) = 0$

خطوة 7.1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = λ$ و $b = 3$ .

$(- λ + 11) ((λ + 3) (λ - 3)) = 0$

خطوة 7.1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- λ + 11 = 0$

$λ + 3 = 0$

$λ - 3 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $- λ + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $- λ + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ + 11 = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ + 11 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$- λ = - 11$

خطوة 7.3.2.2

اقسِم كل حد في $- λ = - 11$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- λ = - 11$ على $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

خطوة 7.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

خطوة 7.3.2.2.2.2

اقسِم $λ$ على $1$ .

$λ = \frac{- 11}{- 1}$

خطوة 7.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.3.1

اقسِم $- 11$ على $- 1$ .

$λ = 11$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $λ + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $λ + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 3 = 0$

خطوة 7.4.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 3$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $λ - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $λ - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 3 = 0$

خطوة 7.5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 3$

خطوة 7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$ صحيحة.

$λ = 11, - 3, 3$